By this author

Towards a theory of growth of a crystal system in supercooled/supersaturated liquids

Issue number 1 from 01.01.2024

В статье построена теория зарождения и роста кристаллов на начальном и промежуточном этапах объемной кристаллизации расплавов и растворов в метастабильных жидкостях. Сформулирована интегро-дифференциальная модель фазового превращения, состоящая из кинетического уравнения первого порядка для функции распределения кристаллов по размерам, балансового уравнения для переохлаждения (пересыщения) жидкости, граничных и начальных условий. Математическая модель процесса учитывает эффекты нестационарного роста каждого отдельно взятого кристаллита (учитывает нестационарное поле температуры (концентрации примеси) вокруг эволюционирующей частицы сферической формы). Математическая модель сформулирована для произвольной кинетики нуклеации кристаллов (для расчетов рассматриваются случаи кинетик Майера и Вебера–Вольмера–Френкеля–Зельдовича). В статье построено полное аналитическое решение интегро-дифференциальной модели объемной кристаллизации с помощью метода седловой точки для вычисления интеграла лапласовского типа. В параметрической форме найдены: функция распределения частиц по радиусам, переохлаждение/пересыщение жидкости, время, общее количество частиц в жидкости и их средний размер (параметром является модифицированное время). Определены фундаментальное решение и три поправочных коэффициента к нему по методу седловой точки. Показано, что аналитическое решение быстро сходится и для расчетов можно ограничиться первыми тремя вкладами в него. Переохлаждение расплава (пересыщение раствора) уменьшается со временем из-за скрытой теплоты фазового превращения, выделяемой развивающимися кристаллами. По мере этого функция распределения частиц по радиусам ограничена максимальным размером кристаллов и со временем смещается в сторону больших размеров кристаллов в результате зарождения новых и роста уже существующих частиц. Развиваемая теория определяет начальное состояние расплавов и растворов на заключительной стадии фазового превращения.

51 0

Linear stability analysis of a solidification process with convection in a bounded region of space

Issue number 2 from 01.02.2024

Данное исследование посвящено линейному анализу морфологической/динамической неустойчивости процесса направленного затвердевания в ограниченной области пространства при наличии конвекции в расплаве. Разработана линейная теория морфологической неустойчивости стационарного процесса направленной кристаллизации с плоской границей раздела фаз «твердое тело – жидкость», с учетом наличия конвекции в жидкости. Выписаны уравнения для возмущений температурного поля и межфазной границы, построено решение этих уравнений, выведено дисперсионное соотношение. Его анализ показал существование морфологической неустойчивости в широком диапазоне волновых чисел и при различных параметрах кристаллизующейся системы. Существование этой неустойчивости обусловлено возмущениями, которые поступают на границу раздела «твердое тело – жидкость» от охлаждаемой стенки через твердую фазу. Помимо этого, в работе показано, что плоская граница раздела «твердое тело – жидкость» может быть неустойчива к динамическим возмущениям, то есть к возмущениям с нулевым волновым числом (к возмущениям установившейся скорости затвердевания). Также имеется ветвь устойчивого решения для динамических возмущений. Кристаллизующаяся система может выбрать одну из этих ветвей (неустойчивую или устойчивую) в зависимости от действия конвекции. Результатом морфологической и динамической неустойчивости является появление двухфазной области перед плоской границей раздела «твердое тело – жидкость». Поэтому следующим шагом в работе стал анализ динамической неустойчивости стационарной кристаллизации с двухфазной областью. Эта область была заменена на поверхность разрыва, располагающуюся между чисто твердой и жидкой фазами. Анализ уравнений для амплитуд возмущений выявил существование динамической неустойчивости для широкого диапазона скоростей кристаллизации. Такая неустойчивость порождается возмущениями в твердом материале у охлаждаемой стенки и распространяется вплоть до границы раздела фаз. При достижении определенной скорости кристаллизации происходит бифуркация решений, что приводит к существованию одновременно неустойчивой и устойчивой ветвей. Система же, как и ранее, выбирает одну из них в зависимости от влияния конвекции. В общем случае, кристаллизующаяся система может быть морфологически/динамически неустойчива к малым возмущениям, которые поступают на границу раздела фаз вследствие флуктуаций тепломассообменного оборудования (например, флуктуаций температуры на охлаждаемой границе).

49 0

Exact analytical solution of the equations for a quasiequilibrium two-phase domain: permeability and interdendritic spacing

Issue number 3 from 01.03.2024

В работе построены точные аналитические решения нелинейных уравнений тепломассопереноса, описывающие квазистационарную кристаллизацию бинарных расплавов или растворов с двухфазной областью. Аналитические решения получены в параметрическом виде, где доля твердой фазы в двухфазном слое является параметром. Найдены распределения температуры и концентрации примеси в твердом, жидком и двухфазном регионах кристаллизующейся системы, скорость процесса затвердевания, а также определена пространственная координата в двухфазной области в зависимости от доли твердой фазы в ней. Выведено алгебраическое уравнение для определения доли твердой фазы на межфазной границе твердый материал – двухфазная область. Показано, что концентрация примеси в двухфазном регионе возрастает с увеличением доли твердой фазы. При этом доля твердой фазы на межфазной границе кристалл – двухфазная область и ее протяженность увеличиваются с возрастанием температурного градиента в твердом материале и скорости процесса направленной кристаллизации. Также показано, что доля твердой фазы в двухфазном слое уменьшается с увеличением пространственной координаты, направленной от твердой фазы к жидкости. На основе аналитических решений уравнений двухфазной области найдены ее проницаемость и характерное междендритное расстояние. Выявлено, что относительная проницаемость в двухфазном слое возрастает от некоторого известного значения на границе с твердым материалом до единицы на границе с жидкостью. Показано, что междендритное расстояние в двухфазной области уменьшается с увеличением градиента температуры в твердой фазе, когда увеличивается скорость кристаллизации. При этом увеличение примеси в расплаве приводит к уменьшению междендритного расстояния в двухфазном регионе.

42 0